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Spatiotemporal reservoir resampling for real-time ray tracing with dynamic direct lighting 阅读笔记

6 August, 2023

写在前面

大名鼎鼎的 ReSTIR 采样器，用极为简单的数据结构实现了非常高效的采样。

基本想法是用 Weighted Reservoir Sampling (WRS) 去进行 Resampled Importance Sampling (RIS)，然后通过 WRS 的性质添加了开销很低的时间与空间采样重用。

随后分析了会导致偏差产生的情况和原因，并且给出了一个无偏版本的算法。

问题提出

渲染方程本质上是积分，例如从点 \(y\) 向方向 \(\vec{\omega}\) 出射的 Radiance 是 $$ L(y,\omega) = \int_A \rho(y, \vec{yx}\leftrightarrow \vec{\omega}) \cdot L_e(x\to y)\cdot G(x\leftrightarrow y)V(x\leftrightarrow y)\text{d}A_x $$ 其中 \(\rho\) 是 BRDF，\(L_e\) 是上一个点 \(x\) 的出射 radiance，\(V\) 是可见性，\(G\) 是几何项（即与法线夹角的余弦）。简化后它可以写成 $$ L= \int_Af(x)\text{d}x, f(x) =\rho(x)L_e(x)G(x)V(x) $$ 渲染的过程就是对这个积分进行离散采样并估计的过程。

重要性采样 Importance Sampling

从一个分布接近 \(f\) 的 PDF \(p\) 出发，以 \(p\) 为权重采 \(N\) 个样本 \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) $$ \langle L \rangle^N_{\text{is}} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\frac{f(x_i)}{p(x_i)} $$ 只要 \(f\) 非零且 \(p\) 恒正那 IS 就是无偏的；\(p\) 越接近 \(f\) 方差越小。

IS 的问题在于，虽然 \(f\) 的一些组成部分（\(L_e, \rho\)）的 PDF 是可以知道的， 但我们很难找到一个与 \(f\) 自己相近的 pdf。

多重重要性采样 Multiple Importance Sampling, MIS

MIS 选择使用不同的策略并进行加权混合来解决 IS 的被积函数很难拟合的问题，分别使用容易拟合的 \(L_e\) 和 \(\rho\) 等不同的权重，然后对采样结果进行加权的混合。 $$ \langle L\rangle_{\text{mis}}^{M,N} = \sum_{s=1}^M\frac{1}{N_s}\sum_{i=1}^{N_s}w_s(x_i)\frac{f(x_i)}{p_s(x_i)} $$ 其中 \(M\) 是采样的策略数（即 PDF 的个数）而 \(N_s\) 是各个策略下的采样数。只要保证不同策略的 \(w_s\) 总和是 1，那么 MIS 仍然是无偏的。

实际使用中一般采用采样数×概率密度为权值： $$ w_s(x) = \frac{N_sp_s(x)}{\sum_jN_jp_j(x)} $$

重采样重要性采样 Resampled Importance Sampling, RIS

与 MIS 不同，RIS 不使用线性加权混合来进行拟合被积函数。

假设理想的分布是 \(\hat p\)（例如 \(\hat p\propto\rho\cdot L_e\cdot G\)），RIS 从一个可以很坏的分布 \(p\) 出发（比如 \(p \propto L_e\)）采 M 个样本 \(x_1, x_2, \cdots x_M\)。随后我们从这 M 个样本中以权重 \(\text{w}\) 再次采得样本 \(x_z\) $$ \text{w}(x) = \frac{\hat{p}(x)}{p(x)} $$ 我们把重采样得到的样本命名为 \(y\)，那么估计值就是 $$ \langle L\rangle_{\text{ris}}^{1,M} = \frac{f(y)}{\hat p(y)}\cdot\left(\frac{1}{M}\sum_{j=1}^M\text{w}(x_j)\right) $$ 将这一过程重复 \(N\) 次并求平均，即可得到 RIS 的估计结果 $$ \langle L\rangle_{\text{ris}}^{N,M} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{f(y_i)}{\hat p(y_i)}\cdot\left(\frac{1}{M}\sum_{j=1}^M\text{w}(x_{ij})\right)\right) $$ 这一形式类似 IS，但是因为 \(y_i\) 实际上不是直接通过 \(\hat p\) 抽样得到的，而是通过 \(p\) 进行重采样得到的，所以要给每个 \(f(y_i)\) 添加一个含 \(\text{w}\) 的补偿项，来保证无偏。

在 \(M \to \infty\) 是，\(y\) 的分布将逼近 \(\hat p\)；然而对于有限大小的 \(M\)，\(p\) 的质量对于采样效果也很关键。

单次 RIS 的伪代码为：

Pseudocode for RIS

加权蓄水池采样 Weighted Reservoir Sampling, WRS

给定 \(M\) 个值组成的数据流，每个值都有权重 \(w_i\)。WRS 的任务是只经过一次扫描，依据权值选出 N 个样本（\(M\) 在算法开始时是未知的，只能随着输入逐次更新自己的样本选择）。

在这里我们将 N 简化为 1，只需要选择一个。

WRS 的伪代码如下，其中定义了一个蓄水池结构，实质上就是动态维护的「当前选中的样本」，每次从流中取得一个新值的时候随机决定要不要将它换掉：

Pseudocode for WRS

流式 RIS（结合 WRS 和 RIS）

将 RIS 的 M 个采样使用 WRS 进行流式优化，就可以在增大采样数的同时降低内存占用。

Pseudocode for stream RIS

仅仅使用流式 RIS 进行采样，同算力同时间下其降噪前的结果已经比 LightBVH 要明显更好，而同质量下用时会更短。

注意这里为蓄水池引入了一个新的字段 \(W\)，它就是此前 RIS 中估计值 $$ \langle L\rangle_{\text{ris}}^{1,M} = \frac{f(y)}{\hat p(y)}\cdot\left(\frac{1}{M}\sum_{j=1}^M\text{w}(x_j)\right) $$ 中除 \(f(y)\) 以外的部分。

时间和空间重用

空间重用

在不考虑遮挡项 \(V\) 的情况下，我们往往认为临近像素的 \(\hat p \propto \rho\cdot L_e\cdot G\) 是相似的，因此我们希望可以在当前像素重用周边像素的采样——一般情况下这意味着额外的存储，但在 WRS 下我们可以在不额外存储的情况下，直接合并两个或多个蓄水池：

Pseudocode for reservoir combination

其采样结果与直接对合并的序列采样等价。

如果 RIS 本身采样 \(M\) 次并且重用 \(k\) 个邻居的结果，那么计算复杂度是 \(O(k+M)\) 但像素看到的采样数是 \(k\cdot M\)；如果重复 \(n\) 次空间重用，则可以以 \(O(nk+M)\) 的复杂度采样 \(k^n\cdot M\) 次。

时间重用

在动画中，使用上一帧的蓄水池来初始化当前帧的蓄水池。

这样我们得到了一个利用了时间和空间重用的、结合了 WRS 和 RIS 的采样方法。

Pseudocode for ReSTIR (but biased)

偏差分析

空间重用会导致 ReSTIR 的采样结果有偏。对 RIS 的形式进行一个改写： $$ \langle L\rangle_{\text{ris}}^{1,M} = \frac{f(y)}{\hat p(y)}\cdot\left(\frac{1}{M}\sum_{j=1}^M\text{w}(x_j)\right) = f(y) \cdot W(\mathbf{x},z) $$ 其中 $$ W(\mathbf{x},z) = \frac{1}{\hat p(x_z)}\left(\frac{1}{M}\sum_{j=1}^M\text{w}(x_j)\right) $$ 如果要与 IS 的形式相对应，即 \(\frac{f(y)}{p(y)}\)，则应当保证 \(W(\mathbf{x},z)\) 的期望等于 \(\frac{1}{p(y)}\) 才能保证结果无偏。接下来的分析将说明，对于给定的 \(y\)，遍历所有的使得 \(x_z = y\) 的组合 \((\mathbf{x},z)\)，其 \(W(\mathbf{x},z)\) 的平均值 $$ E_{x_z=y}[W(\mathbf{x},z)] \leq \frac{1}{p(y)} $$ 只有在采样 \(\mathbf{x}\) 的所有 pdf（注：原本我们假定 \(\mathbf{x} \sim p\)，但在空间重用后不再能保证来自相邻像素的样本来自同一分布，所以可能会有很多分布） 在 \(y\) 处均非零，等号才成立。

具体的推导过程

首先推广 RIS，假设 \(\mathbf x\) 中的各个样本从不同的分布中选出，第 \(i\) 个样本 \(x_i \sim p_i\)，那么 $$ p(\mathbf x) = \prod_{i=1}^M p_i(x_i) $$ 对应修改重采样的权重为（即用 \(p_i\) 代替原本的 \(p\)） $$ p(z | \mathbf x) = \frac{w_z(x_z)}{\sum_iw_i(x_i)}, \text{where }w_i(x) = \frac{\hat p(x_i)}{p_i(x_i)} $$ 我们可以计算 \(\mathbf x, z\) 联合分布的 pdf 是 $$ p(\mathbf x, z) = p(z|\mathbf x)\cdot p(\mathbf x) = \left[\prod_{i=1}^Mp_i(x_i)\right]\cdot \frac{w_z(x_z)}{\sum_iw_i(x_i)} $$ 对于给定的 \(y\)，有很多种可能的 \(\mathbf x, z\) 组合（例如 \(x_1 = y, z = 1\) 或者 \(x_M = y, z=M\)）等。为了表达方便，我们首先定义集合 \(Z(y)\)：

$$ Z(y) = \{i | 1\leq i\leq M \land p_i(y)\gt 0\} $$ 即「在这个位置上可能出现 \(y\) 值的下标 i 构成的集合」。 固定下标 \(i\) 后，剩下的 \(M-1\) 个位置的值可以自由选择，都能保证 \(\mathbf x, z\) 是采样得到 \(y\) 的组合。因此 \(p(y)\) 实际上是所有 \(M-1\) 重积分的和： $$ p(y) = \sum_{i\in Z(y)}\int\cdots\int p(\mathbf{x}^{i\to y}, i)\text{d}x_1\cdots\text{d}x_M $$ 而对于 \(W(\mathbf x, z)\) 而言，固定采样结果为 \(y\) 时它的均值为 $$ \begin{aligned} E_{x_z=y} &= \frac{\int\cdots\int W(\mathbf{x}^{i\to y}, i)p(\mathbf{x}^{i\to y}, i)\text{d}x_1\cdots\text{d}x_M}{\int\cdots\int p(\mathbf{x}^{i\to y}, i)\text{d}x_1\cdots\text{d}x_M} \ \end{aligned} $$ 简单手推一下（真的很简单 XD，基本都约掉了）可以得到 $$ E_{x_z=y} = \frac{1}{p(y)} \frac{|Z(y)|}{M} \leq \frac{1}{p(y)} $$ 因此只有在 \(|Z(y)| = M\)，即所有 PDF 在 \(y\) 处都非零时才能保证无偏，否则结果会偏小。

具体来说，上文的 ReSTIR 算法会把被遮挡的采样丢弃（相当于把 PDF 直接设置为 0），但在相邻像素中被遮挡的样本可能在当前像素中没有被遮挡，对它进行重用的结果就是期望出现偏差、图像变暗。

偏差消除

把 \(W(\mathbf x, z)\) 里的权重 \(1/M\) 改为可变的 \(m(x_z)\)，则上文的期望变为 $$ E_{x_z=y} = \frac{1}{p(y)}\sum_{i\in Z(y)}m(x_i) $$ 那么无偏性等价于 \(\sum_{i\in Z(y)}m(x_i) = 1\)。

实际计算中，作者使用了 \(\hat p_{q_i}(x_i)\) 来模拟真实 PDF：因为只要真实 PDF 非零，它也一定非零。以下是一个平均权值（即上面两者中方法1）的无偏蓄水池合并算法的伪代码。

Pseudocode for unbiased reservoir combination

实现细节

作者在 Falcor 上实现了 ReSTIR 采样器，具体参数为

JS
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